Exercice 63

Soit $f$ la fonction paire, $2\pi$-périodique, définie sur $[0,\pi]$ par :

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

où $(a,b,c)\in\hbox{\bb I\hskip -0.15em R}^3$.
a) Déterminer les coefficients de Fourier de $f$.
b) Montrer que l'on peut choisir $a$, $b$ et $c$ pour que la série de Fourier de $f$ soit

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos nx}{n^2}.$$

Représenter alors le graphe de $f$ sur $[-\pi,\pi]$.
c) En déduire la valeur de

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.$$

Thème(s) : Séries
Non corrigé.