Exercice 25

Soient $n>1$ et $k\geq 1$ deux entiers, et

$$A_{n,k}=\left( \left( n\left( i-1\right) +j\right) ^k\right) _{1\leq i,j\leq n}$$

On admet que

$$\forall k,\exists n,\det A_{n,k}=0$$

et on note

$$N_k=\min \left\{ n\;/\;\det A_{n,k}=0\right\}$$

Calculer $N_k$ pour $k\in\{1,\ldots,5\}$. Conjecturer une formule pour $N_k$. Déterminer un vecteur non nul de $\mathrm{Ker\ } A_{n,k}$. Que resterait-il à faire pour prouver la conjecture? Thème(s) : Calculs matriciels
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