Exercice 67

Soit :

$$P = x^4 + x^3 + \sqrt{2} x^2 +a x + b$$

ou bien

$$P = x^4 + x^3 +a x^2 + \sqrt{2} x + b$$

(l'élève ne sait plus).
a) Sachant que $1+ i$ est zéro de $P$, déterminer les réels $a$ et $b$. Calculer alors les zéros de $P$.
b) Factoriser $P$ dans $\hbox{\bb I\hskip -0.15em R}$ et dans $\hbox{\bb \ l\hskip -0.53em C\/}$. Thème(s) : Polynômes
Exercice 67

> restart:

> P:=x->x^4+x^3+sqrt(2)*x^2+a*x+b;

Puisque a et b sont réels, P est à coefficients réels. Par conséquent, si 1+i est zéro de P , il en est de même de son conjugué :

> s:=solve({P(1+I),P(1-I)},{a,b});assign(s);

> solve(P(x));evalc([%]);

Il n'y a pas de racine réelle. Factorisation dans R :

> factor(P(x));

Et dans C :

> factor(P(x),{I,sqrt(7+4*sqrt(2))});

Avec le deuxième énoncé :

> restart:

> P:=x->x^4+x^3+a*x^2+sqrt(2)*x+b;

> s:=solve({P(1+I),P(1-I)},{a,b});assign(s);

> solve(P(x));

Pas de racine réelle non plus ! Factorisation dans R :

> factor(P(x));

Et dans C :

> factor(P(x),{I});