Exercice 47

$$\langle f,g \rangle=\displaystyle\int_0^1f(t)g(t)\,d t$$

définit un produit scalaire sur $\hbox{\bb I\hskip -0.15em R}[X]$. Construire une base orthonormée de $\hbox{\bb I\hskip -0.15em R}_6[X]$ échelonnée en degré et trouver $P$ dans $\hbox{\bb I\hskip -0.15em R}_6[X]$ tel que $\left\Vert P-X^7\right\Vert$ soit minimum. Thème(s) : Polynômes
Exercice 47

> restart:

> ps:=(f,g)->int(f*g,t=0..1);

On construit d'abord une base orthogonale par le procédé de Schmidt :

> poly:=proc(n)
option remember;
local p,i;
p:=t^n-add(ps(t^n,poly(i))/ps(poly(i),poly(i))*poly(i),i=0..n-1);
collect(p,t);
end;
poly(0):=1;

Il reste à normer ces vecteurs pour obtenir la base orthonormale cherchée :

> for i from 0 to 6 do e.i=poly(i)/sqrt(ps(poly(i),poly(i))):od;

Le minimum cherché est réalisé sur la projection orthogonale ; or par construction même, poly(7) = t^7 - p(t^7) où p(t^7) est la projection orthogonale de t^7 sur R 6[X].

D'où la projection :

> proj:=t^7-poly(7);

On vérifie que c'est un élément de R 6[X] et t^7 - proj = poly(7) est orthogonal à une base de ce sous espace.