Exercice 45

Soit $f$ la fonction paire 2-périodique coïncidant avec la fonction $x\longmapsto x^7$ sur $[0,1]$. Calculer les coefficients de Fourier de $f$, écrire la 5 $^{\grave{e}me}$ somme partielle, tracer $f$ et la 30 $^{\grave{e}me}$ somme partielle. Thème(s) : Séries, calculs approchés
Exercice 45

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On calcule les coefficients de Fourier trigonométriques à l'aide des formules classiques (du programme PT !) ; les sont nuls puisque f est paire.

> g:=x->x^7;

> omega:=2*Pi/2;

> a0:=int(g(x),x=0..1);

> assume(n,integer);

> a:=unapply(2*int(g(x)*cos(n*omega*x),x=0..1),n);

D'où les sommes partielles de la série de Fourier de f , et la série de Fourier elle-même :

> SFp:=(N,x)->a0+sum(a(k)*cos(k*omega*x),k=1..N);

> SF:=x->SFp(infinity,x);

La 5ème somme partielle est alors :

> SFp(5,x);

On représente enfin f et la 30ème somme partielle, par exemple sur [-2,2] :

> f:=piecewise(x<=-2,g(-x-2),x<=-1,g(x+2),x<=0,g(-x),x<=1,g(x),x<=2,g(-x+2),g(x-2));

> plot({f(x),SFp(30,x)},x=-3..3);

La fonction f étant de classe par morceaux, la figure précédente illustre le théorème de Dirichlet, puisque les graphes de f et de sa 30ème somme partielle de Fourier sont pratiquement indiscernables.