PREMIER PROBLÈME

I – Solutions d’une équation différentielle Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗).

On considère l’équation différentielle (E) : (1 + x^{2}) y′ + 2xy = \frac{1}{x}.

1) Résoudre (E) sur ℝ_{+}^{∗}.

2) Pour tout réel λ, on définit la fonction f_{λ} sur ℝ_{+}^{∗} par : ∀x > 0 f_{λ}(x) = \frac{ln x + λ}{1 + x^{2}} et on note (C_{λ}) sa courbe représentative dans (O, i⃗, j⃗).

a) Soit M(α, β) un point du plan avec α > 0. Montrer que par M passe une et une seule courbe (C_{λ}).

b) Montrer que pour tout réel λ, la fonction f_{λ} est de classe C^{∞} sur ℝ_{+}^{∗}.

c) Montrer que pour tout x > 0, f′_{λ}(x) est du signe de g_{λ}(x) = 1 + x^{2} − 2x^{2}(ln x + λ).

d) Etudier les variations de g_{λ}. On montrera en particulier que l’équation g_{λ}(x) = 0 admet une et une seule solution sur ℝ_{+}^{∗}; cette solution sera notée m_{λ}.

e) Dresser le tableau de variations de f_{λ}. On calculera les limites de f_{λ} en 0 et +∞, et on montrera que f_{λ}(m_{λ}) = \frac{1}{2m_{λ}^{2}} .

f) Représenter sur un même graphique les courbes (C_{−1}), (C_{0}) et (C_{1}). On donnera des valeurs approchées de m_{−1} et m_{0} à 10^{−2} près en précisant la méthode utilisée, ainsi que la valeur exacte de m_{1}.

3) Dans cette question, on cherche un équivalent de m_{λ} lorsque λ tend vers +∞.

a) Montrer que pour λ assez grand, on a : \frac{1}{λ} ⩽ m_{λ} ⩽ \frac{1}{\sqrt{λ}}.

b) En déduire, à l’aide des questions précédentes, que m_{λ} ∼_{+∞} \frac{1}{\sqrt{2λ}}.

II – Etude d’une fonction intégrale On étudie dans cette partie la fonction F définie par : ∀x > 0 F (x) = ∫_{1}^{x} f_{0}(t) dt = ∫_{1}^{x} \frac{ln t}{1 + t^{2}} dt. La courbe représentative de F sera notée Γ.

1) a) Déterminer le signe de F sur ℝ_{+}^{∗}.

b) Justifier la continuité et la dérivabilité de F sur ℝ_{+}^{∗}.

c) Calculer F′(x) pour x > 0.

d) Ecrire le développement limité de F à l’ordre 3 au voisinage de x = 1.

2) Montrer que : ∀x > 0 F (x) = F (\frac{1}{x}).

3) a) Soit φ la fonction définie sur ℝ_{+}^{∗} par : ∀x > 0 φ(x) = \frac{Arctan x}{x}.

Montrer que φ est prolongeable par continuité en 0. b) Montrer que : ∀x > 0 F (x) = Arctan x ln x − ∫_{1}^{x} φ(t) dt.

c) En déduire que F est prolongeable par continuité en 0. La nouvelle fonction ainsi obtenue sera encore notée F. Que peut-on dire de F au voisinage de +∞?

d) Montrer que F n’est pas dérivable à droite en 0. Que peut-on dire de Γ au point d’abscisse 0 ?

4) Dans cette question, on cherche à calculer une valeur approchée de F (0).

a) Pour k ∈ ℕ et x > 0, calculer I_{k}(x) = ∫_{1}^{x} t^{k} ln t dt.

b) Montrer que : ∀n ∈ ℕ ∀x > 0 \frac{1}{1 + x^{2}} = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}x^{2k} + (−1)^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{1 + x^{2}} .

c) En déduire, pour n ∈ ℕ et x ∈]0, 1[, une majoration de |F (x) − ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}I_{2k}(x)|.

d) On pose, pour n ∈ ℕ, u_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{(−1)^{k}}{(2k + 1)^{2}} .

Montrer que : ∀n ∈ ℕ |F (0) − u_{n}| ⩽ \frac{1}{(2n + 3)^{2}} .

e) Donner, en détaillant la méthode utilisée, une valeur approchée à 10^{−2} près de F (0).

5) Tracer l’allure de la courbe Γ. On précisera le point d’inflexion.

DEUXIÈME PROBLÈME

Dans tout le problème, l’espace vectoriel ℝ^{3} est muni de sa structure euclidienne orientée usuelle et rapporté à sa base canonique (orthonormée directe) notée (e_{1}, e_{2}, e_{3}). On note L(ℝ^{3}) la ℝ-algèbre des endomorphismes de ℝ^{3}, M_{3}(ℝ) la ℝ-algèbre des matrices d’ordre 3 à coefficients réels et I_{3} la matrice identité. Il est demandé de faire figurer tous les calculs sur la copie.

Partie I

Soit s l’endomorphisme de ℝ^{3} de matrice S = \frac{1}{3} ( \begin{matrix}5 & −1 & −1 \\ −1 & 5 & −1 \\ −1 & −1 & 5 \end{matrix} ) dans la base canonique.

1) Montrer que s est un automorphisme de ℝ^{3}.

2) Soient e′_{1} = (1, 1, 1), e′_{2} = (1, −1, 0) et e′_{3} = (1, 1, −2).

a) Montrer que (e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}) est une base de ℝ^{3}.

b) Déterminer la matrice S′ de s dans la base (e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}).

c) Calculer (S′)^{n} et donner une méthode de calcul de S^{n} (on ne demande pas d’effectuer lesdits calculs).

3) a) La famille (I_{3}, S) est-elle libre dans M_{3}(ℝ) ? b) Montrer que S^{2} peut s’exprimer sous forme de combinaison linéaire de I_{3} et S.

c) En déduire que pour tout n ∈ ℕ, il existe un unique couple (a_{n}, b_{n}) de réels tel que S^{n} = a_{n}I_{3} + b_{n}S (on convient que : ∀M ∈ M_{3}(ℝ) M^{0} = I_{3}).

d) Donner les valeurs de a_{0}, b_{0}, a_{1}, b_{1}, et exprimer, pour n ∈ ℕ, a_{n+1} et b_{n+1} en fonction de a_{n} et b_{n}.

e) Montrer que la suite (a_{n}+b_{n})_{n∈ℕ} est constante, puis que la suite (b_{n}+1)_{n∈ℕ} est géométrique.

f) En déduire l’expression de a_{n} et b_{n} pour tout n ∈ ℕ.

4) Soit B = S − 2I_{3}.

a) Calculer B^{n} pour n ∈ ℕ.

b) En déduire l’expression de S^{n} en fonction de I_{3} et B pour n ∈ ℕ (on pourra, après justification, utiliser la formule du binôme de Newton).

c) Comparer avec le résultat de la question 3).

5) L’expression de S^{n} obtenue aux questions 3) et 4) est-elle valable pour n ∈ ℤ?

Partie II

Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} de matrice A = \frac{1}{3} ( \begin{matrix}−1 & −1 & 5 \\ 5 & −1 & −1 \\ −1 & 5 & −1 \end{matrix} ) dans la base canonique. On pose :

u = f ∘ s^{−1} et on note U la matrice de u dans la base canonique.

1) Calculer U ; vérifier que u est une rotation vectorielle et que u ∘ s = s ∘ u = f.

2) Soit (e′′_{1}, e′′_{2}, e′′_{3}) la famille obtenue en normant les vecteurs e′_{1}, e′_{2} et e′_{3} de la question 2) de la première partie.

a) Montrer que (e′′_{1}, e′′_{2}, e′′_{3}) est une base orthonormale directe.

b) Ecrire la matrice U′ de u dans cette base et caractériser géométriquement u.

3) a) Exprimer la matrice de s dans la base (e′′_{1}, e′′_{2}, e′′_{3}) en fonction de S′.

b) En déduire la matrice de f dans la base (e′′_{1}, e′′_{2}, e′′_{3}).

4) a) Quel est l’ensemble des vecteurs invariants par f ?

b) Soit P = Vect (e′′_{2}, e′′_{3}).

i) Montrer que f(P) = P.

ii) Soit g l’endomorphisme de P tel que pour tout x de P, g(x) = f(x). Montrer que g est la composée de deux applications linéaires simples que l’on reconnaîtra.

5) On note C(f) l’ensemble des endomorphismes de ℝ^{3} commutant avec f, c’est-à-dire l’ensemble des endomorphismes g tels que f ∘ g = g ∘ f.

a) Montrer que C(f) est une sous-algèbre de L(ℝ^{3}).

b) Soit g ∈ C(f).

i) Montrer que le vecteur g(e′′_{1}) est invariant par f. Que peut-on en déduire ?

ii) Soit M la matrice de g dans la base (e′′_{1}, e′′_{2}, e′′_{3}). Montrer que M commute avec (S′)^{3}. iii) En déduire la forme générale de la matrice d’un endomorphisme de C(f) dans la base

(e′′_{1}, e′′_{2}, e′′_{3}).

c) Quelle est la dimension de l’espace vectoriel C(f) ?