Exercices sur Maple posés à la banque PT

Les exercices ci-dessous ont été rapportés par des candidats à leurs professeurs. Les plus expresses réserves sont émises sur leur exactitude ! Mais ils sont cependant fournis au public, dans l’espoir que leur publication sera utile.

Concours ENSAM PT 1997-1998

1

À quelle condition A est-elle diagonalisable ?

A = ( \begin{matrix}a & 0 & 0 & 0 & b \\ 0 & a & 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 & 0 \\ 0 & b & 1 & a & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & a \end{matrix} )

2

Soit :

A = ( \begin{matrix}1 & a + \frac{1}{a} & a^{2} + \frac{1}{a^{2}} \\ a + \frac{1}{a} & 1 & a + \frac{1}{a} \\ a^{2} + \frac{1}{a^{2}} & a + \frac{1}{a} & 1 \end{matrix} )

a) Condition nécessaire et suffisante sur a pour que A soit diagonalisable ?

b) Quand A est diagonalisable, trouver P matrice de passage telle que P^{−1}AP soit diagonale (vérifier).

3

(Sous toutes réserves)

Soit :

A = −\frac{2}{3} ( \begin{matrix}−\frac{1}{2} & \frac{v}{u} & \frac{w}{u} \\ \frac{u}{v} & −\frac{1}{2} & \frac{w}{v} \\ \frac{u}{w} & \frac{v}{w} & −\frac{1}{2} \end{matrix} )

a) Condition nécessaire et suffisante pour que A soit diagonalisable ?

b) Trouver u, v, w pour que A soit orthogonale.

4

Déterminer les coefficients a, b, c, d et e pour que la fonction f :

x ⟼ f(x) = sh(x) − \frac{ax + bx^{3} + cx^{5}}{1 + dx^{2} + ex^{4}}

soit un infiniment petit d’ordre le plus élévé possible au voisinage de 0. Donner alors un équivalent de f.

5

(Sous toutes réserves) Montrer l’existence d’un minimum et le calculer pour la fonction :

(a, b) ⟼ ∫_{1}^{+∞}(a\frac{ln(t)}{t} + \frac{b}{t})^{2}dt

6

Soient une sphère de centre O, de rayon 1 et un cylindre de centre Ω(0, \frac{1}{2}, 0), de rayon \frac{1}{2}. Γ est l’intersection de la sphère et du cylindre.

a) Paramètrer Γ.

b) Tracer Γ (penser à plots[spacecurve]).

c) Longueur de Γ.

7

a) Tracer la courbe :

\{ \begin{matrix}x = t^{3} − 4t \\ y = 2t^{2} − 3 \end{matrix}

b) Calculer l’angle des tangentes au point double.

(Sous toutes réserves) Déterminer les zéros du polynome :

x^{4} − x^{3} − 3x^{2} + x + 1

9

Extremums de la fonction :

(x, y) ⟼ xe^{y} + ye^{x}

10

u_{0} = 1, v_{0} = \sqrt{2}, u_{n+1} = \sqrt{u_{n}v_{n}}, v_{n+1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} .

a) Valeur approchée de la limite commune l ?

b) Soit

J = \frac{2}{π} ∫_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt{1 − t^{4}}}

Valeur approchée de J × l ? Conjecture ? (Gauss, adolescent)

11

Soit T_{n} ∈ ℝ_{n}[X] défini par

T_{0} = 1, T_{1} = X

et

∀n ≥ 2 : T_{n} = 2XT_{n−1} − T_{n−2}

Ecrire une procédure permettant de calculer T_{11}.

12

Soit la matrice

( \begin{matrix}−1 & 7 \\ 13 & 1 \end{matrix} )

Trouver une base orthonormée dans laquelle elle s’écrit

( \begin{matrix}0 & α \\ β & 0 \end{matrix} )

Soit le produit scalaire

⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{1} f(t)g(t) dt

Donner une base orthonormée de ℝ_{4}[X].

14

Soit l’équation différentielle

x(x^{2} + 1)y′ − (x^{2} − 1)y = −2x

Donner les solutions ; existe-t-il des solutions sur ℝ ? Montrer qu’il existe un point A tel que toutes les tangentes aux courbes intégrales au point d’abscisse 2 soient concourantes en ce point.

15

Sachant que

π = 6Arcsin\frac{1}{2}

utiliser un DSE de la fonction Arcsin permettant d’obtenir un nombre donné de décimales exactes de π.

16

a) Montrer que

f : z ⟼ \frac{z − 2i}{z + i}

est une bijection de ℂ \ {−i} dans ℂ \ {1}.

b) On pose z = x + iy et f(z) = u + iv. Exprimer x et y en fonction de u et v et inversement.

c) Soient

P = \{z ∈ ℂ; ℑ(z) > \frac{1}{2}\}

et

D = {z ∈ ℂ; |z| < 1}

Démontrer que la restriction de f à P est une bijection de P sur D.

On pose :

r^{2} = r + 1, a = r, b = r − 1

et

A = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}b & −2 & 1 \\ a & −1 & −b \\ 1 & b & a \end{matrix} )

Quelle est la nature de la transformation géométrique associée à A?

18

Soit

A = ( \begin{matrix}a & 1 & b \\ 1 & c & d \\ e & f & −1 \end{matrix} )

Déterminer a, b, c, d, e et f pour que les vecteurs

( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} )

forment une base de vecteurs propres.

19

Déterminer les zéros de

P = X^{4} − X^{3} − 2X^{2} − 2X − 1

Décomposer P en facteurs irréductibles.

20

Réduire dans une base orthonormale la forme quadratique :

q(x, y, z) = x^{2} − 2xy + 2xz + 2yz

21

P (X) = X^{4} + aX^{3} + \sqrt{3}X^{2} + X + b

Donner les valeurs de a et b pour que 2 + 2i soit racine. Factoriser P dans ℂ et dans ℝ.

Image du cercle unité par l’application

z ⟼ \frac{2 + i}{z + 1}

23

On définit un produit scalaire sur ℝ_{7}[X] par :

⟨P, Q⟩ = ∑_{k=0}^{10} P (\frac{k}{10}) Q (\frac{k}{10})

Projection orthogonale sur ℝ_{3}[X] de 12X^{7} + 5X^{6} + X + 1 ? Tracer les graphes des fonctions correspondantes.

24

Trouver a, b, c tels que le polynôme

X^{6} + \sqrt{2}X^{5} + aX^{2} + bX + c

ait un zéro d’ordre ≥ 4.

25

Soient n > 1 et k ≥ 1 deux entiers, et

A_{n,k} = ((n (i − 1) + j)^{k})_{1≤i,j≤n}

On admet que

∀k, ∃n, det A_{n,k} = 0

et on note

N_{k} = min {n / det A_{n,k} = 0}

Calculer N_{k} pour k ∈ {1, …, 5}. Conjecturer une formule pour N_{k}. Déterminer un vecteur non nul de Ker A_{n,k}. Que resterait-il à faire pour prouver la conjecture?

Soit

f(x, y) = F (\frac{y}{x})

Calculer Δf. Déterminer toutes les fonctions F de ℝ dans ℝ telles que Δf = 0 puis la fonction F telle que

\{ \begin{matrix}Δf = 0 \\ F (0) = 0 \\ F (1) = 1 \end{matrix}

27

Trouver le polynôme P de degré 3 tel que P (1) = 7 et P (8) = −2 soient des extrema locaux. Graphe, calcul de P (4).

28

Soit

f(x, y, z) = F (\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})

Trouver les fonctions F de ℝ dans ℝ telles que Δf = 0 hors de (0, 0, 0).

29

On pose OM_{0} = a > 0 et

f(M) = \frac{OM^{2} − OM_{0}^{2}}{M_{0}M^{3}}

Calculer Δf et ∫∫∫ f(M) dM sur B(O, a).

30

Factoriser dans ℝ[X] le polynôme 4X^{4} − 16X^{3} + 21X^{2} + 28X − 49

31

Centre et rayon de la sphère passant par les points de coordonnées (1, 2, 3), (−3, 4, 5), (3, −4, 5) et (−3, 4, −5). Trouver tous les points à coordonnées entières de cette sphère (on pourra utiliser le booléen type(d,square)).

Branches infinies, points doubles de la courbe paramétrée

\{ \begin{matrix}x = \frac{t − 1}{t^{2} − 4} \\ y = \frac{t^{2} − 3}{t + 2} \end{matrix}

33

Etude, nature et paramètres de la courbe d’équation polaire

ρ = \frac{sin θ}{cos 2θ}

34

CNS sur a pour que la matrice

( \begin{matrix}a & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & a & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & a & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & a & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & a \end{matrix} )

ait toutes ses valeurs propres strictement positives.

35

Déterminer l’ensemble de toutes les matrices de M_{3}(ℝ) admettant (1, 2, 3) comme vecteur propre et laissant globalement invariant le plan P d’équation x + y + z = 0.

36

Branches infinies, points doubles, convexité de

\{ \begin{matrix}x = \frac{u^{3}}{u^{2} − 9} \\ y = \frac{u(u − 2)}{u − 3} \end{matrix}

Résoudre

\{ \begin{matrix}\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + ω^{2}x − Kω^{2}y = 0 \\ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} + ω^{2}y − Kω^{2}x = 0 \\ x(0) = x′(0) = y′(0) = 0 \\ y(0) = 1 \end{matrix}

et tracer les graphes pour K = 0, 5 et ω = 10.

38

Minimum de

(a, b) ⟼ ∫_{0}^{1} (shx − ax − b)^{2} dx

39

Trouver m tel que les droites

\{ \begin{matrix}x = \frac{z}{m} + m \\ y = −2z + 3 − m \end{matrix}

et

\{ \begin{matrix}x = \frac{−z}{2m} − m + \frac{1}{2m} \\ y = −\frac{z}{2} − m + 3 \end{matrix}

soient coplanaires.

40

Trouver k tel que le polynôme

X^{4} − X^{3} + kX^{2} + 6X − 4

ait deux zéros de produit égal à 2.

Calculer A^{n} avec

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} )

(voir aussi le numéro 78).

42

Etude graphique de la suite définie par :

\{ \begin{matrix}u_{0} = 1 \\ ∀n ∈ ℕ u_{n+1} = \frac{u_{n} − ln(1 + u_{n})}{u_{n}^{2}} \end{matrix}

43

Pour le produit scalaire

⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{1} fg

sur l’espace des fonctions continues sur [0, 1], donner une base orthonormale de ℝ_{4}[X], puis calculer la projection orthogonale sur ℝ_{4}[X] de la fonction

x ⟼ 1 − |2x − 1|

Tracer les graphes des fonctions correspondantes.

44

Montrer que la matrice

A = ( \begin{matrix}a & b & c \\ b & a + c & b \\ c & b & a \end{matrix} )

est diagonalisable dans une base indépendante de a, b et c, qu’elle est inversible puis calculer A^{n}.

45

Soit f la fonction paire 2-périodique coïncidant avec la fonction x ⟼ x^{7} sur [0, 1]. Calculer les coefficients de Fourier de f, écrire la 5^{ème} somme partielle, tracer f et la 30^{ème} somme partielle.

Choisir a, b, c, d, e et f pour que

shx − \frac{ax + bx^{3} + cx^{5}}{d + ex^{2} + fx^{4}}

soit un infiniment petit d’ordre maximum en 0.

47

⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{1} f(t)g(t) dt

définit un produit scalaire sur ℝ[X]. Construire une base orthonormée de ℝ_{6}[X] échelonnée en degré et trouver P dans ℝ_{6}[X] tel que ∥P − X^{7}∥ soit minimum.

48

Soient E un espace vectoriel de dimension n, f un endomorphisme de E et x un vecteur de E tels que la famille (f^{i}(x))_{0≤i≤n−1} soit une base de E.

a) Matrice de f dans cette base ?

b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes de E qui commutent avec f est Vect(f^{i})_{0≤i≤n−1}. On traitera cet exercice pour n = 6.

49

Soit (E) l’équation différentielle d’inconnue y fonction de la variable x :

|x|y′ + (x − 1)y = x^{3}

a) Trouver toutes les solutions sur ℝ^{∗}.

b) Trouver toutes les fonctions continues sur ℝ, solutions de (E) sur ℝ^{∗}.

c) Trouver toutes les solutions sur ℝ.

d) Illustrations graphiques.

50

Soit f paire, 2π-périodique, coïncidant avec la fonction x ⟼ x^{3} sur [0, π]. Calculer les coefficients de Fourier, écrire la 5^{ème} somme partielle. Tracer f et la 30^{ème} somme partielle. Trouver n tel que la somme partielle de Parseval soit une valeur approchée du carré de la valeur efficace de f à moins de 0, 01% près.

Etudier suivant les valeurs du paramètre a les valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres de

( \begin{matrix}10 − a & −a + 7 & 1 \\ −8 + a & −5 + a & −1 \\ −6 + a & a − 7 & 3 \end{matrix} )

Concours ENSAM PT 1998-1999

52

(Sans plus de précisions) Intégration d’une équation différentielle non linéaire du troisième ordre (dessin des courbes intégrales, dessin d’une courbe intégrale avec conditions initiales).

53

Soit f la fonction de ℂ^{∗} dans ℂ^{∗} qui à z associe :

f(z) = \frac{1}{2} (z + \frac{1}{z})

a) Donner l’image par f du cercle de centre O et de rayon R.

b) Donner l’image par f de la demi-droite partant de O et d’angle polaire θ.

54

Enveloppe de la famille de droites :

sin(t)x − cos^{2}(t)y + sin^{2}(t) = 0

Points stationnaires de l’enveloppe.

55

Résoudre approximativement, par la méthode d’Euler, l’équation différentielle sur [0, 1] :

y′′ + 3y′ + 2y = e^{t}

Donner les valeurs de y pour les pas h = 0, 1 et h = 0, 05.

(Sans plus de précisions) Décrire la conique passant par les cinq points A, B, C, D, E (les coordonnées étaient évidemment données numériquement).

57

Étudier les extremums locaux sur ℝ^{2} de :

f(x, y) = x^{3} + 3xy^{2} − 12x − 12y

58

Étude de la série :

S(x) = ∑_{n≥0} 2^{\sqrt{n}}x^{n}

a) Rayon de convergence de S.

b) Donner une valeur de N pour que :

S_{N}(x) = ∑_{0≤n≤N} 2^{\sqrt{n}}x^{n}

soit une valeur approchée de S(x) à 10^{−8} près pour tout x ∈ [−1/3, 1/3].

c) Graphe de x ⟼ S_{N}(x) pour x ∈ [−1/3, 1/3].

59

Soit A la matrice carrée de dimension 5 telle que a_{ij} = 2 si i = j, a_{ij} = 1 si i ≠ j. Calculer A^{n}.

60

(Sans plus de précisions) Résoudre une équation différentielle du premier ordre ((x + 1) en facteur de y′). Tracer les courbes intégrales. Montrer qu’il existe une solution définie sur ℝ. Calculer la limite de la fonction solution quand x tend vers −1.

Soient A B des matrices à 3 lignes et 3 colonnes. On définit [A, B] = AB − BA. Montrer que :

[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0

62

Soit f la fonction définie par :

f(x) = \frac{a}{sin x} + \frac{b}{tan x} + \frac{cx}{cos x} + \frac{d}{x}

avec (a, b, c, d) ≠ (0, 0, 0, 0). Trouver a, b, c et d tels que f soit prolongeable par continuité en 0 et que ce prolongement soit d’ordre le plus élevé possible. On vérifiera que l’ensemble solution est une droite vectorielle.

63

Soit f la fonction paire, 2π-périodique, définie sur [0, π] par :

f(x) = ax^{2} + bx + c

où (a, b, c) ∈ ℝ^{3}.

a) Déterminer les coefficients de Fourier de f.

b) Montrer que l’on peut choisir a, b et c pour que la série de Fourier de f soit

∑_{n=1}^{+∞} \frac{cos nx}{n^{2}}.

Représenter alors le graphe de f sur [−π, π].

c) En déduire la valeur de

∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} .

64

Trouver toutes les fonctions ϕ : ℝ ⟶ ℝ de classe C^{2} telles que la fonction f : U ⟶ ℝ définie par :

f(x, y) = ϕ (x^{2} + y^{2})

vérifie l’équation :

\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} − 3y \frac{∂f}{∂x} = xyf(x, y)

pour (x, y) ≠ (0, 0).

Soit (a, b) ∈ ℂ^{2} tels que |a| = |b| = 1 et a ≠ b et a ≠ −b.

a) Montrer que

\frac{1 + ab}{a + b}

est un réel.

b) Montrer que, quel que soit z ∈ ℂ,

\frac{z + abz̄ − (a + b)}{a − b}

est un imaginaire pur.

66

Calculer le reste de la division euclidienne de :

x^{n} + 2x^{m} + 1

par

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4),

n et m étant deux entiers naturels. Vérifier le résultat pour n = 43 et m = 100. Question de cours : division euclidienne.

67

Soit :

P = x^{4} + x^{3} + \sqrt{2}x^{2} + ax + b

ou bien

P = x^{4} + x^{3} + ax^{2} + \sqrt{2}x + b

(l’élève ne sait plus).

a) Sachant que 1 + i est zéro de P, déterminer les réels a et b. Calculer alors les zéros de P.

b) Factoriser P dans ℝ et dans ℂ.

68

Résoudre le système

\{ \begin{matrix}\frac{d^{2}s_{1}}{dt^{2}} − kw^{2}s_{2} = 0 \\ \frac{d^{2}s_{2}}{dt^{2}} + kw^{2}s_{1} = 0 \end{matrix}

Représenter graphiquement la solution avec k = 0, 5 et w = 2.

Trouver une condition sur a pour que

( \begin{matrix}a & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & a & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & a & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & a \end{matrix} )

ait des valeurs propres strictement positives. (L’élève n’est plus très sûr de l’ énoncé).

70

Soit

u_{n} = sin (\frac{a}{\sqrt{n + b}}) − tan (\frac{c}{\sqrt{n + d}})

Condition pour que la série de terme général u_{n} converge. Déterminer a, b, c, d pour que

u_{n} ∼ \frac{k}{n^{α}}

avec α le plus grand possible.

71

Soit la matrice carrée d’ordre 5 : A = (a_{ij}) définie par a_{ii} = 2 et a_{ij} = 1 si i ≠ j. Calculer A^{n}.

72

Résoudre

(1 + x^{2})y′ − 2xy = x^{3}

pour que les courbes intégrales passent par le point (0, n), où 0 ≤ n ≤ 5.

73

Résoudre

xy′ + (1 − x)y = \frac{xe^{x}}{x^{4} + 1}

Tracer quelques courbes intégrales. Solutions continues sur ℝ ? (Tombé deux fois !)

Trouver tous les polynômes P tels que

(n^{6} + 3n^{2})^{1/6} − (P (n))^{1/3}

soit le terme général d’une série convergente.

75

Soit l’équation différentielle

xy′′ + (x^{4} − 1)y′ + xy = x^{3}

avec

y(0) = 0

Résoudre, tracer quelques courbes, étudier asymptotes et points remarquables (l’élève n’est plus très sûr de l’énoncé).

76

Étudier les extrema locaux de f(x, y) = x^{3} + 3xy^{2} − 15x − 12y

Concours ENSAM PSI 1998-1999

77

Soient a, b et c trois réels et

M = ( \begin{matrix}a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} )

a) Déterminer l’ensemble des matrices M telles que M^{2} = I_{3}.

b) Interpréter géométriquement la forme de ces matrices.

78

Soit

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} )

Déterminer A^{n} (sans utiliser le copier-coller ni la réécriture de matrice).

Concours ENSAM PT 1999-2000

79

Soit la courbe du plan d’équation xy = 1. Soient A et B deux points de cette courbe tels que l’abscisse du point A soit deux fois celle du point B. Déterminer l’enveloppe de la droite (AB). Faire ensuite la même chose avec l’abscisse de A qui vaut n fois l’abscisse de B et tracer le graphe pour n variant de 1 à 5.

80

On considère l’équation différentielle y′′ − 2y′ + y = xe^{−x} cos x.

a) Résoudre l’équation avec les conditions initiales y(0) = 0 et y′(0) = 1. On note f cette solution.

b) Vérifier que f est bien solution de l’équation.

c) Tracer le graphe de f sur [−3, 2].

d) Résoudre l’équation f(x) = −\frac{1}{4}.

81

Soit P (X) = 4X^{4} − 16X^{3} + 2X^{2} + 28X − 49.

a) Trouver les zéros de P.

b) Factoriser P sur ℝ[X].

c) Calculer la somme des cubes des zéros de P. Expliquer pourquoi c’est un entier.

82

Soit u_{n} = cos (π (n^{3} + an^{2} + bn)^{1/3}). À quelle condition sur a et b, la série de terme général u_{n} est-elle convergente ?

83

Soit une suite (u_{n})_{n∈N} définie par u_{0} ∈ ℕ^{∗} et

u_{n+1} = \{ \begin{matrix}1 si u_{n} = 1 \\ u_{n}/2 si u_{n} est pair \\ 3u_{n} + 1 sinon \end{matrix}

Écrire une fonction f telle que u_{n+1} = f(u_{n}). Écrire une procédure d’arguments n et u_{0} donnant u_{n}. On conjecture qu’il existe pour tout u_{0} un entier n tel que u_{n} = 1 ; écrire une procédure donnant le nombre d’itérations pour arriver à u_{n} = 1 avec u_{0} donné.

84

Soit

A = ( \begin{matrix}a & b & c \\ b & a & b \\ c & b & a \end{matrix} )

Déterminer, suivant les valeurs de a, b et c la dimension de l’espace vectoriel E constitué des matrices M ∈ M_{3}(ℝ) telles que AM = MA.

85

Soit

f_{a} : x ⟼ \frac{(x^{3} + ax − 3)e^{\frac{1}{x}}}{1 + x}

et C_{a} sa courbe représentative. Tracer quelques courbes C_{a}. Etudier les asymptotes éventuelles. Pour (x_{0}, y_{0}) ∈ ℝ^{2}, existe-t-il des courbes C_{a} passant par ce point ? Donner la courbe C_{a} passant par (5, −1) et donner une valeur approchée du minimum.

86

On considère la fonction

f_{a} : x ⟼ \frac{(2ax^{2} + x − a)e^{arctan(x^{2}−x+1)}}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Tracer des courbes pour différentes valeurs de a. Déterminer les deux points communs à toutes les courbes. Étude des branches infinies.

87

Résoudre l’équation différentielle

y′ − y tan x + cos x = 0

Étudier et représenter graphiquement la solution vérifiant y(0) = 0. Existe-t-il des solutions continues sur ℝ ? continues en π/2 ?

Soit

P = X^{3} + aX^{2} + aX + 1

avec a ∈ ℂ. Trouver a pour que P ait deux zéros dont la somme soit égale à 1.

89

Trouver (a, b, c) tel que

∫ \frac{ax^{4} + bx^{2} + c}{(x − 1)^{3}(x + 2)^{5}} dx

soit une fraction rationnelle.

90

Trouver le nombre de sphères tangentes au plan d’équation z = 0 et passant par A(1, −2, 1), B(−3, 1, 2) et C(2, 2, 2).

91

Soit

A_{n} = t^{n} + \frac{1}{t^{n}}

Montrer que A_{n} = A_{1}A_{n−1} − A_{n−2} et en déduire que A_{n} = P_{n}(A_{1}) où P_{n} est un polynôme. Faire un programme qui calcule P_{n}. Calculer et linéariser P_{n}(2 cos x) pour n variant de 0 à 10. Que peut-on dire ?

92

Trouver (a, b, c) tel que

∫ \frac{ax^{5} + x^{4} + bx^{3} + cx^{2} + x + d}{x (x^{2} + 1)^{2}} dx

soit une fraction rationnelle.

93

Soit

P = X^{4} + aX^{3} + \sqrt{3}X^{2} + bX

Trouver a et b réels afin que 1 + 2i soit zéro de P et déterminer les autres (voir aussi le numéro 21).

Soit la famille de droites

(D_{t}) : x sin t − y cos t = sin^{2} t

Déterminer et tracer l’enveloppe et étudier ses points stationnaires (voir aussi le numéro 54).

95

Soit la matrice

( \begin{matrix}1 − 2au & −2av & −2aw \\ −2bu & 1 − 2bv & −2bw \\ −2cu & −2cv & 1 − 2cw \end{matrix} )

avec au + bv + cw = 1. Caractériser l’endomorphisme associé et trouver les conditions pour que ce soit une isométrie.

96

Soit

A = ( \begin{matrix}a − b − c & 2a & 2a \\ 2b & b − a − c & 2b \\ 2c & 2c & c − a − b \end{matrix} )

Montrer que A est diagonalisable si et seulement si A est inversible [je suppose que (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) … N.d.C.]. Calculer A^{n}.

97

Soit (E) l’équation différentielle

xy′ − (x − 1)y = e^{x}

Trouver ses solutions, tracer des courbes intégrales et trouver les solutions continues sur ℝ.

98

Matrice de rotation d’angle π/3 et d’axe Δ contenant v⃗ = i⃗ − j⃗ + k⃗ dans la base (i⃗, j⃗, k⃗) ?

Chercher a, b et c tels que les primitives de

\frac{ax^{4} + bx^{2} + c}{(x + 1)^{3}(x − 2)^{2}}

soient des fractions rationnelles. Exemple de primitive. \underline{Note} : l’examinateur a demandé de refaire l’exercice sans calculer les primitives avec int. Interdiction d’utiliser le copier/coller.

100

Conditions sur a et b pour que la matrice A soit diagonalisable ?

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Trouver P telle que P^{−1}AP soit diagonale.

101

Soient les suites :

u_{n} = 2\sqrt{n} − ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}

et

v_{n} = 2\sqrt{n + 1} − ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}

a) Montrer que les deux suites sont adjacentes.

b) Tracer sur un graphique les deux suites pour n variant de 1 à 100.

c) Calculer lim_{n→+∞} u_{n}.

102

Soit la matrice :

A = ( \begin{matrix}1 & a & b \\ 1 & c & d \\ 1 & e & f \end{matrix} ) .

Soient les vecteurs :

u = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , v = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) , w = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} )

Déterminer a, b, c, d, e et f pour que u, v et w soient des vecteurs propres de A.

f(x) = sin(x) − \frac{ax + bx^{3} + cx^{5}}{1 + dx^{2} + ex^{4}}

Déterminer a, b, c, d et e pour que f soit un infiniment petit d’ordre le plus grand possible.

104

Soit l’équation différentielle (E):

x(x − 1)y′ + (x − 1)y = x^{2} − 1

définie pour x dans ]1, +∞[.

a) Pourquoi cette équation différentielle est-elle définie sur ]1, +∞[ ?

b) Courbes intégrales.

c) Tracer quelques courbes intégrales.

d) Chercher et tracer la courbe intégrale (C) passant par A(3, 0).

e) Chercher l’abscisse du point de (C) où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

105

On considère la famille de courbes (C_{t}) d’équation :

y = txe^{x}

Représenter la courbe Γ engendrée par le centre de courbure en (0, 0) à (C_{t}).

106

Soit (C) la courbe de représentation paramétrique :

x = \frac{cos t}{ch t + cos t}
y = \frac{sin t}{ch t + cos t}

Tracer (C). Tracer le graphique du rayon de courbure de (C) en fonction de t.

107

On considère le produit scalaire

⟨f, g⟩ = ∫_{−1}^{1} f(x)g(x) dx

sur l’espace vectoriel des polynômes. Soit le polynôme 12X^{7} + 5X^{6} + X + 1. Déterminer sa projection orthogonale sur le sous-espace ℝ_{3}[X]. Représenter graphiquement la solution.