Oraux CCP 97

1) Soient, pour tout n ∈ ℕ^{∗}, U_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} et V_{n} = U_{2n} − U_{n}.

a) Etablir : ∀n ∈ ℕ^{∗} \frac{1}{2} ⩽ V_{n} ⩽ \frac{n}{n + 1}.

b) Quelle est la nature des suites (U_{n})_{n∈ℕ^{∗}} et (V_{n})_{n∈ℕ^{∗}} ?

c) Etablir : ∀n ∈ ℕ^{∗} \frac{1}{n + 1} ⩽ ln \frac{n + 1}{n} ⩽ \frac{1}{n}.

d) En déduire : ∀n ∈ ℕ^{∗} V_{n} ⩽ ln 2 ⩽ V_{n} + \frac{1}{2n}.

2) a) Soient E = ℝ_{3}[X] et f : P ⟼ Q avec Q = X^{2}P′′ − (X + 1)P′ − 3P.

i) Montrer que f est un endomorphisme de E. ii) Déterminer Ker f. iii) A-t-on E = Ker f + Im f ?

b) Soient E = ℝ_{n}[X] et g : P ⟼ Q avec Q = X^{2}P′′ +(1−a−b)XP′ +abP. g est-il un endomorphisme de E? Est-il injectif ? Préciser Ker g.

3) Soit f : (x, y) ⟼ \frac{y}{x^{2} + a^{2}} . Calculer l’intégrale de f sur le domaine D : \{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} ⩽ a^{2} \\ x > 0 \\ y > 0 \end{matrix} .

4) Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et soit f un endomorphisme de E tel que f ∘ f ∘ f = 0 et f ∘ f ≠ 0. Montrer qu’il existe x_{0} tel que la famille (x_{0}, f(x_{0}), f ∘ f(x_{0})) soit une base de E. Quelle est la matrice A de f dans cette base ?

Montrer que : f ∘ g = g ∘ f ⟺ g ∈ Vect(Id, f, f ∘ f).

5) Nature de I = ∫_{2/π}^{+∞} ln (sin \frac{1}{x}) dx et de J = ∫_{2/π}^{+∞} ln (cos \frac{1}{x}) dx.

6) Soit f la fonction définie par f(x) = ∫_{0}^{+∞} e^{−t^{2}/2} cos(xt) dt. Montrer que f est de classe C^{1} et calculer

f′(x). En déduire f(x).

7) Etudier et tracer la courbe définie en polaires par l’équation r = sin t − tan \frac{t}{2}. Calculer l’aire de la boucle.

8) Soit F la fonction définie par F (x) = ∫_{0}^{π/2} \frac{dt}{1 + cos t cos x}. Etudier F et tracer son graphe.

9) Soit f impaire, 2π-périodique, valant \frac{π}{4} sur ]0, π[.

a) Déterminer la série de Fourier de f. Soit S_{n}(x) la somme des n premiers termes de cette série.

b) Montrer que S_{n}(x) = ∫_{0}^{x} \frac{sin(2nt)}{2 sin t} dt.

c) Déterminer la plus petite valeur x(n) strictement positive pour laquelle S_{n} présente un maximum relatif noté y(n).

d) Etablir : ∀t > 0 \frac{sin t}{t} ⩾ 1 − \frac{t^{2}}{6} . En déduire : y(n) > \frac{π}{4} .

10) On pose K = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}, x ⩾ 0, y ⩾ 0, z ⩾ 0, x + y + z = 1}. Calculer la valeur de max_{(x,y,z)∈K} xyz.

Interpréter géométriquement.

Montrer que pour tous x, y, z positifs ou nuls, (xyz)^{1/3} ⩽ \frac{x + y + z}{3} . Quels sont les cas d’égalité ?

11) On cherche les polynômes P tels que : ∀x ∈ ℝ P (x) = \frac{1}{2} ∫_{x−1}^{x+1} P (t) dt.

a) Montrer que si P est solution, alors P′ l’est aussi.

b) Montrer qu’un polynôme de degré 2 ne peut être solution.

c) Quelles sont les solutions ?

12) a) Résoudre : xy′′ + (2 − x)y′ − y = 0 en posant u(x) = xy(x).

b) Quelles sont les solutions de classe C^{2} sur ℝ?

c) Quelles sont les solutions développables en série entière ?

13) Convergence et somme de la série de terme général a_{n} = \frac{1}{n} sin (\frac{4n − 3}{6}π) (n ⩾ 1).

14) Une machine fonctionne avec deux combustibles x et y (dont les consommations sont exprimées en m^{3}). Sa puissance est proportionnelle à \frac{x}{(x + 1)^{2}} et \frac{y}{(y + 1)^{2}} , soit P = \frac{Kxy}{(x + 1)^{2}(y + 1)^{2}} .

a) Calculer les valeurs de x et y pour que la puissance soit maximale.

b) Les produits x et y valent 500 francs le m^{3}. Calculer (x, y) pour que le rapport puissance/prix soit

maximal.

15) On considère une réaction chimique qui transforme deux produits A et B en AB avec une constante K_{2} (et réciproquement avec une constante K_{1}). On note [A](t), [B](t) et [AB](t) les concentrations des trois produits à l’instant t.

On a : \{ \begin{matrix}\frac{d[A]}{dt} = K_{1}[AB] − K_{2}[A][B] \\ \frac{d[AB]}{dt} = −K_{1}[AB] + K_{2}[A][B] \\ \frac{d[B]}{dt} = K_{1}[AB] − K_{2}[A][B] \end{matrix} avec les conditions [A](0) = A_{0}, [B](0) = B_{0} et [AB](0) = X_{0}.

a) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par x(t) = [AB](t).

b) On choisit X_{0} = 0, A_{0} = \frac{B_{0}}{2} , K_{1} = 2K_{2}A_{0}. Trouver les concentrations à l’équilibre.

c) Résoudre l’équation en x(t).

16) Soit f une fonction de classe C^{2} en la variable r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}. Soit V le volume compris entre les sphères concentriques de rayons R_{1} et R_{2} (R_{1} < R_{2}). Démontrer que

∫∫∫_{V} Δf dx dy dz = 4π [R_{2}^{2}f′(R_{2}) − R_{1}^{2}f′(R_{1})]

où Δf = \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}f}{∂z^{2}} .

On utilisera deux méthodes : • la formule d’Ostrogradski,

• l’expression de Δf en coordonnées sphériques.

17) Calculer lim_{n→+∞} ∫_{0}^{1} nx^{n} tan x dx.

1) Soit f(x) = ∫_{0}^{+∞} \frac{e^{−xt}}{(1 + t)^{2}} dt pour tout x > 0.

a) Etudier l’existence de f(x).

b) Etablir : f(x) = ∑_{k=1}^{n} \frac{(−1)^{k−1}k!}{x^{k}} + R_{n}(x). Que vaut R_{n}(x) ?

c) Calculer f(100) à 10^{−6} près.

2) Soient U_{n}(x) = ln n x^{n} et f(x) = ∑_{n=2}^{+∞} U_{n}(x).

a) Quel est le domaine de définition de f ?

b) Soit g(x) = −x + ∑_{n=2}^{+∞} (− ln (1 − \frac{1}{n}) − \frac{1}{n}) x^{n}. Quel est le domaine de définition de g?

c) Quelle relation simple lie f et g?

3) Soit (S) la surface d’équation x^{2} + y^{2} + \frac{z^{2}}{2} = a^{2} avec z ⩾ 0. Soit A⃗ (\begin{matrix}−y \\ x \\ xyz \end{matrix}) un potentiel vecteur de B⃗.

Calculer le flux de B⃗ à travers (S).

4) On considère la suite définie par : S_{n} = ∑_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}.

a) Montrer que (S_{n})_{n∈ℕ^{∗}} décroît.

b) Montrer que (S_{n})_{n∈ℕ^{∗}} converge vers une limite S.

c) Soit f de classe C^{1} sur [0, 1] telle que f(0) = 0 et f′(0^{+}) = m. Donner la définition de m à l’aide de quantificateurs.

Soit T_{n}(f) = ∑_{k=n}^{2n} f (\frac{1}{k} ). Montrer que T_{n}(f) tend vers mS quand n tend vers +∞.

d) Soit f(x) = ln(1 + x). Calculer la limite de T_{n}(f). En déduire S.

5) Soit M une matrice antisymétrique. M + I est-elle inversible ?

6) Soit I_{n} = ∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}/2}x^{n} dx pour n ∈ ℕ. On admet que I_{0} = \sqrt{π}.

a) Etudier la convergence de I_{n}.

b) Calculer I_{n}.

c) Soit J = ∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}/2} cos x dx. Quelle est sa nature ?

d) Soient T_{n}(x) = ∑_{p=0}^{n} \frac{(−1)^{p}x^{2p}}{(2p)!} et J_{n} = ∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}/2}T_{n}(x) dx. Vérifier que |J − J_{n}| < \frac{I_{2n+2}}{(2n + 2)!}.

e) En déduire la valeur de J.

7) a) Soit g(x) = −x^{5} − x.

i) Montrer que g est bijective de ℝ dans ℝ.

ii) Montrer l’existence de f dérivable sur ℝ telle que ∀x ∈ ℝ f^{5}(x) + f(x) + x = 0.

iii) Exprimer f′ à l’aide de f.

iv) Donner un équivalent de f en +∞.

v) Tracer le graphe de f.

b) Trouver les fonctions f dérivables sur ℝ telles que ∀x ∈ ℝ f^{3}(x) − 3f(x) = x.

8) Soit f une fonction de classe C^{∞} sur [0, x_{0}], telle que f > 0, f′ < 0, f(0) = 1 et vérifiant (1) : 1 − f(x) =

\sqrt{−2 ∫_{0}^{x} \frac{y^{2}f′(y)}{f(y)} dy}.

a) On suppose qu’il existe n ∈ ℕ^{∗} et C tels que 1 − f(x)soit équivalent à Cx^{n} quand x tend vers 0^{+}. Quelles sont les valeurs possibles pour n et C?

b) En dérivant (1), trouver f. Quelle est la valeur maximale de x_{0} ?

c) Tracer le graphe de f.

9) Soit f(x) = ∫_{0}^{1} \frac{e^{t}}{x + t} dt, pour tout x > 0.

a) Montrer que f décroît.

b) Montrer que f est de classe C^{0} et dérivable.

c) Calculer les limites de f en +∞ et en 0^{+}.

d) Donner un équivalent de f en +∞. Continuer le développement limité de f en +∞.

10) Soit la série de terme général U_{n} = \sqrt[4]{n^{4} + 2n^{2}} − \sqrt[3]{P (n)} où P est un polynôme indéterminé. Déterminer tous les polynômes P pour lesquels la série converge. Donner alors un équivalent de U_{n}.

11) Déterminer tous les endomorphismes f d’un espace vectoriel E de dimension 3 tels que Ker f = Im f.