EXERCICES TYPE 1999

  1. Dans $ \Bbb{C}$ résoudre l'équation suivante:     $ z^{2}+%% \bar{z}+iz=0.$
    Montrer que les points dont les affixes sont solutions forment un triangle rectangle.

  2. On considère le polynôme réel suivant :

    $\displaystyle P=X^{4}+X^{3}+aX^{2}+\sqrt{2}X+b. $

    1. Déterminer $ a$ et $ b$ pour que $ \left( 1+i\right) $ soit zéro de $ P$; calculer alors tous les zéros de $ P$.

    2. Factoriser $ P$ en facteurs irréductibles dans $ \Bbb{R}\left[ X\right] $ et dans $ \Bbb{C}\left[ X\right] .$

  3. Soit la matrice

    \begin{displaymath} A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{displaymath}

    Déterminer les matrices $ B$ telles que $ AB=BA$ (la solution générale dépend de $ 3$ paramètres).

  4. Résoudre, en discutant suivant le paramètre réel $ m$, le système linéaire suivant:

    \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rrrrrrrrr} m\quad x & + & y & & & + &... ...d y & + & z & + & m^{2}\quad t & = & m^{2} \end{array}\right. \end{displaymath}

  5. Soit $ E=\Bbb{R}_{6}\left[ X\right] $; on pose, pour $ P$ et $ Q$ éléments de $ E$ :

    $\displaystyle \left( P\mid Q\right) =\int_{0}^{\infty }P\left( t\right) Q\left( t\right) e^{-t}\ dt $

    On notera $ \left\Vert \ \right\Vert $ la norme associée.

    1. Vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire; construire une base orthonormale du sous-espace $ \Bbb{R}_{5}\left[ X\right] .$

    2. Pour $ H=X^{6}+X+1$ déterminer $ P$, élément de $ \Bbb{R}%% _{5}\left[ X\right] $, tel que $ \left\Vert H-P\right\Vert $ soit minimale.

  6. On donne la droite $ \left( D\right) $ d'équations:

    \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x+2y-5z-1=0 \\ 10x-7y+3z+2=0 \end{array}\right. \end{displaymath}

    dans un repère orthonormé, et le point $ A\left( 1,2,3\right) $.

    1. Calculer les coordonnées du projeté orthogonal de $ A$ sur la droite $ \left( D\right) .$

    2. Calculer la distance de $ A$ à la droite $ \left( D\right) .$

  7. Soit la courbe de représentation paramétrique

    $\displaystyle x=\frac{u^{3}}{u^{2}-9}\qquad y=\frac{u\left( u-2\right) }{u-3} $

    Représenter cette courbe; préciser les asymptotes, les points doubles et les points d'inflexion.

  8. Soit, dans un plan muni d'un repère orthonormé $ \left( O,%% \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) $, la conique $ \Gamma $ d'équation :

    $\displaystyle x^{2}+3xy+2y^{2}=1. $

    Déterminez une équation réduite de $ \Gamma $ et en déduire ses principales caractéristiques.
    La représenter.

  9. Dans un repère orthonormé on considère les quatre points :

    \begin{displaymath} \begin{array}{ccccccc} A\left( 0,0,0\right) & & B\left( 1,0,... ...& & C\left( 0,1,0\right) & & D\left( 1,1,1\right) \end{array}\end{displaymath}

    Trouver le centre et le rayon de la sphère inscrite dans le tétraèdre $ ABCD$, c'est-à-dire tangente à chaque face du tétraèdre et intérieure à celui-ci.

  10. Soit $ f$ la fonction :

    $\displaystyle \left( a,b\right) \longmapsto \int_{0}^{+\infty }\left( x^{2}+ax+b\right) ^{2}e^{-2x}\ dx.$


    En quel(s) point(s) la fonction $ f$ atteint-elle son minimum ?
    Le calculer.

    1. Résoudre l'équation différentielle

      $\displaystyle xy^{^{\prime }}+\frac{3x+4}{2\left( x+1\right) }y=\frac{x}{\sqrt{x+1}} $

    2. Existe-t-il des solutions sur $ \left] -1,+\infty \right[ $ ?
      Si oui, tracer le graphe de telles solutions.

  12. Trouver tous les polynômes $ P\in \Bbb{R}\left[ X\right] $ tels que la série de terme général

    $\displaystyle u_{n}=\left( n^{7}+3n^{6}\right) ^{1/7}-\left( P\left( n\right) \right) ^{1/3} $

    soit convergente.

  13. Soit $ f:\Bbb{R\rightarrow R}$ la fonction de période $ 2\pi $ définie par:

    $\displaystyle \forall t\in \left[ -\pi ,\pi \right] ,\quad f\left( t\right) =t^{4}-kt^{2} $

    1. Déterminer $ k\in \Bbb{R}$ tel que les coefficients de Fourier de $ %% f$ soient les plus simples possibles.

    2. Développer alors $ f$ en série de Fourier et en déduire les sommes $ \sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}},\quad \sum\limits_{p=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2p+1\right) ^{4}}$      et     $ \sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{8}}.$

  14. Étant donné un entier naturel $ a$, on appelle diviseur propre de $ a$ tout diviseur de $ a$ différent de $ a$. Deux entiers naturels différents de zéro sont dits amiables si chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs propres de l'autre.
    Écrire un algorithme qui détermine tous les couples d'entiers amiables inférieurs ou égaux à $ 1500.$

  15. Soit $ u_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{2}}$; montrer que la suite $ \left( u_{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}$ est convergente.
    Écrire une procédure d'arguments $ p$ et $ e$ déterminant le plus petit entier $ N$ tel que $ \left\vert u_{N+p}-u_{N}\right\vert <e.$