Exercice 40

Trouver $k$ tel que le polynôme

$$X^4-X^3+kX^2+6X-4$$

ait deux zéros de produit égal à 2. Thème(s) : Polynômes
Exercice 40

> restart:

> P:=x^4-x^3+k*x^2+6*x-4;

La recherche directe des racines de P (en fonction de k ) ayant toutes les chances d'être décourageante, on va plutôt considérer la forme factorisée recherchée pour P (dans C ) :

> Q:=(x-a)*(x-2/a)*(x-b)*(x-c);

Remarque : on a pris Q unitaire, comme P ...

On identifie ensuite :

> R:=collect(P-Q,x):solve({coeffs(R,x)},{a,b,c,k});

On voit donc que nécessairement ...

> k:=-2:

> factor(P);

... et l'examen de la dernière parenthèse confirme que le produit de deux des racines de P est égal à 2.